Q1:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逆定理是真命题吗?
是的,逆命题是斜边上的中线等于斜边一半的三角形是直角三角形。
设三角形ABC,AB边上的中线是AD,AD=(1/2)AB,求证:C=90
证明:因为AD=BD=CD=(1/2)AB,所以A=角ACD,角B=角BAD,又A+B+C=180度,所以2(角A+B)=180度,所以A+B=90度,故C=90度。
Q2:怎么证明定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
设在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC的中线,求证:AD=1/2BC。
【证法1】
延长AD到E,使DE=AD,连接CE。
∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD,
又∵∠ADB=∠EDC(对顶角相等),
AD=DE,
∴△ADB≌△EDC(SAS),
∴AB=CE,∠B=∠DCE,
∴AB//CE(内错角相等,两直线平行)
∴∠BAC+∠ACE=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∵∠BAC=90°,
∴∠ACE=90°,
∵AB=CE,∠BAC=ECA=90°,AC=CA,
∴△ABC≌△CEA(SAS)
∴BC=AE,
∵AD=DE=1/2AE,
∴AD=1/2BC。
【证法2】
取AC的中点E,连接DE。
∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD=1/2BC,
∵E是AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE//AB(三角形的中位线平行于底边)
∴∠DEC=∠BAC=90°(两直线平行,同位角相等)
∴DE垂直平分AC,
∴AD=CD=1/2BC(垂直平分线上的点到线段两端距离相等)。
【证法3】
延长AD到E,使DE=AD,连接BE、CE。
∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD,
又∵AD=DE,
∴四边形ABEC是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
∵∠BAC=90°,
∴四边形ABEC是矩形(有一个角是90°的平行四边形是矩形),
∴AE=BC(矩形对角线相等),
∵AD=DE=1/2AE,
∴AD=1/2BC。
Q3:直角三角形斜边中线等于斜边一半的逆定理有没有
【直角三角形斜边中线等于斜边的一半逆命题】
【如果三角形的一边中线等于该边长的一半,那么三角形为直角三角形。】
设在△ABC中,AD为BC边的中线,且AD=1/2BC,求证:△ABC为直角三角形。
【证法1】
∵AD是BC边的中线,
∴BD=CD=1/2BC,
∵AD=1/2BC,
∴BD=AD=CD,
∴∠1=∠B,∠2=∠C,
∴∠1+∠2=∠B+∠C,
即∠BAC=∠B+∠C,
∵2∠BAC=∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形内角和180°),
∴∠BAC=90°,
∴△ABC是直角三角形。
【证法2】
取AC的中点E,连接DE。
∵AD是BC边的中线,
∴BD=CD=1/2BC,
∵AD=1/2BC,
∴AD=CD,
∵点E是AC的中点,
∴DE⊥AC(三线合一),
∴∠DEC=90°,
∵点D是BC的中点,点E是AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE//AB,
∴∠BAC=∠DEC=90°,
∴△ABC是直角三角形。
【证法3】
延长AD到E,是DE=AD,连接BE、CE。
∵AD是BC边的中线,
∴BD=CD,
又∵AD=DE,
∴四边形ABEC是平行四边形(对角线相等的四边形是平行四边形),
∵AD=1/2BC,AD=DE=1/2AE,
∴BC=AE,
∴四边形ABEC是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形),
∴∠BAC=90°(矩形的内角均为直角),
∴△ABC是直角三角形。
Www..BAzhiShi.COMQ4:为什么直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图,http://hiphotos.baidu.com/%BA%D3%CE%F7%CF%C8%C9%FA/pic/item/dd41171b84e0d1eeae5133dd.jpg
ΔABC是直角三角形,作AB的垂直平分线n交BC于D
∴AD=BD(线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等)
以DB为半径,D为圆心画弧,与BC在D的另一侧交于C
∴DC’=AD=BD
∴∠BAD=∠BDA
∠C’AD=∠AC’D (等边对等角)
又∵∠BAD+∠BDA+∠C’AD+∠AC’D =180°(三角形内角和定理)
∴∠BAD+∠C’AD=90°
即:∠BAC’=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠BAC=∠BAC’
∴C与C’重合
(也可用垂直公理证明 :假使C与C’不重合
由于CA⊥AB,C’A⊥AB
故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直
这就与垂直公理矛盾
∴假设不成立
∴C与C’重合)
∴DC=AD=BD
∴AD是BC上的中线且AD=BC/2、这就是直角三角形斜边上的中线定理
证法2:如图http://hiphotos.baidu.com/%BA%D3%CE%F7%CF%C8%C9%FA/pic/item/dd41171b9a68c3eeae513325.jpg
ΔABC是直角三角形,AD是BC上的中线,作AB的中点E,连接DE
∴BD=CB/2,DE是ΔABC的中位线
∴DE‖AC(三角形的中位线平行于第三边)
∴∠DEB=∠CAB=90°(两直线平行,同位角相等)
∴DE⊥AB
∴n是AB的垂直平分线
∴AD=BD(线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等)
∴AD=CB/2、我是老师 谢谢采纳wwW.baZhis∴Hi.com